martes, 23 de febrero de 2010

Hilbert y sus 23 desafios matematicos del siglo XX, (y los 7 para el XXI)

David Hilbert, un gran matemático, decía que el futuro de la matemática estaba en seguir resolviendo problemas, por lo que en una conferencia para el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 en París, presento una compilación de problemas sin resolver (algunos llevaban muuuucho tiempo dando vuelta) que el pensaba eran los que marcarían el avance de la matemática durante el siglo venidero.
Originalmente en la conferencia solo nombro 10, pero en su publicación el total eran 23 (se dice que es sus borradores habia un desafío número 24)
David Hilbert

La resolución de muchos de estos problemas han tenido gran repercusión en el uso práctico de la matemática en muchas ciencias (de la misma forma que muchas de las teorías del propio Hilbert, como los espacios de Hilbert), quizás uno de los mas importante y que sigue sin ser resuelto es la Hipótesis de Riemann (si, el mismo de las sumatorias de Riemann para los cálculos de Integrales) que está íntimamente ligada a la distribución de los números primos. (si están aburridos y quieren encontrar una demostración de dicha conjetura el Instituto Clay de Matemáticas ofrece U$S1.000.000 para quien pueda desarrollar una demostración correcta de la conjetura (en realidad, el instituto elaboro una lista con los 7 problemas matemáticos para resolver en este siglo XXI ofreciendo esa suma para quien resuelva cualquiera de ellos, y la hipotesis de riemann sigue estando entre los pendientes, al final del post adjunto dicha lista).
Cito abajo los 23 problemas, y cuales han sido resueltos, les confieso que un estudiante de ingeniería no tiene una formación teórica matemática muy elevada, por lo que muchos de los problemas ni siquiera entiendo exactamente que plantean, pero confío en que muchos de ustedes si, y de la resolución de algunos de estos problemas siempre se da repercusiones positivas en los campos de la ciencia que usan la matemática como soporte (¿prácticamente todos?), aunque algunos de los problemas no han sido de tanta importancia practica.
Si quieren leer el discurso original, hacer click acá (Los problemas fúturos de la matemática)

Los veintitrés problemas de Hilbert:
ProblemaExplicación breveEstado
1erLa hipótesis del continuo (esto es, no existe conjuntocuyo tamaño esté estrictamente entre el de los enterosy el de los números reales)Se ha probado la imposibilidad de probarlo como cierto o falso mediante losaxiomas de Zermelo-Fraenkel. No hay consenso al respecto de considerar esto como solución al problema.1
Probar que los axiomas de la aritmética sonconsistentes (esto es, que la aritmética es un sistema formal que no supone una contradicción).Parcialmente resuelto: hay quienes sostienen que se ha demostrado imposible de establecer en un sistema consistente, finitista y axiomático2 Sin embargo, Gentzen probó en 1936 que la consistencia de la aritmética se deriva del buen fundamento del ordinal ε0, un hecho sujeto a la intuición combinatoria.
3erDados dos poliedros de igual volumen, ¿es siempre posible cortar el primero en una cantidad finita de piezas poliédricas que puedan ser ensambladas de modo que quede armado el segundo?Resuelto. Resultado: no, probado usando invariantes de Dehn
Construir todas las métricas cuyas rectas seangeodésicas.Demasiado vago3 para decidir si se ha resuelto o no.
¿Son los grupos continuos grupos diferenciales de forma automática?Resuelto por Andrew Gleason (1952)
Axiomatizar toda la física
  • La mecánica clásica: Hamel (1903).
  • La termodinámica: Caratheodory (1909).
  • La relatividad especial: Robb (1914) y Caratheodory (1924) independientemente.
  • La teoría de probabilidades: Kolgomorov (1930).
  • La teoría cuántica de campos: Wightman a finales de los años cincuenta del siglo XX.
¿Es a b trascendental, siendo a ≠ 0,1 algebraico y birracional algebraico?Resuelto. Resultado: sí, ilustrado por el teorema de Gelfond o el teorema de Gelfond-Schneider
La hipótesis de Riemann (la parte real de cualquiercero no trivial de la función zeta de Riemann es ½) y laconjetura de Goldbach (cada número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos).Abierto.4
Encontrar la ley más general del teorema de reciprocidad en cualquier cuerpo numérico algebraicoParcialmente resuelto5
10ºEncontrar un algoritmo que determine si una ecuación diofántica polinómica dada con coeficientes enteros tiene solución entera.Resuelto. Resultado: no, el teorema de Matiyasevich (1970) implica que no existe tal algoritmo.
11ºResolver las formas cuadráticas con coeficientesnuméricos algebraicos.Parcialmente resuelto:
  • Sobre los números racionales: Hasse (1923-1924).
  • Sobre los números enteros: Siegel en los años treinta
12ºExtender el teorema de Kronecker sobre extensiones abelianas de los números racionales a cualquiercuerpo numérico de base.Abierto
13ºResolver todas las ecuaciones de 7º grado usandofunciones de dos parámetros.Resuelto negativamente por Vladímir Arnold y Andréi Kolmogórov en 1957.
14ºProbar la finitud de ciertos sistemas completos de funciones.Resuelto. Resultado: no, en general, debido a un contraejemplo, Nagata (1962).
15ºFundamento riguroso del cálculo enumerativo de Schubert.Parcialmente resuelto, Van der Waerden a finales de los años treinta.
16ºTopología de las curvas y superficies algebraicas.Abierto
17ºExpresión de una función definida racional comocociente de sumas de cuadradosResuelto. Resultado: se estableció un límite superior para el número de términos cuadrados necesarios, Pfister (1967). La solución negativa en general se debe a Du Bois (1967).
18º¿Existe un poliedro irregular y que construya otros poliedros? ¿Cual es el apilamiento compacto más denso?Resuelto6
19º¿Son siempre analíticas las soluciones de losLagrangianos?Resuelto por Bernstein (1904). Resultado: sí
20º¿Tienen solución todos los problemas variacionalescon ciertas condiciones de contorno?Resuelto. Ha supuesto un área importante de investigación durante el siglo XX, culminando con las soluciones al caso no lineal.
21erProbar la existencia de ecuaciones lineales diferenciales que tengan un grupo monodrómicoprescritoResuelto. Resultado: sí o no, dependiendo de una formulación más exacta del problema. Según Gray resuelto de forma negativa por Anosov y Bolibruch (1994).
22ºUniformización de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficasResuelto por Koebe (1907) y Poincaré independientemente (1907).
23erExtensión de los métodos del cálculo de variacionesResuelto

Los 7 problemas del milenio 


En el año 2000, año mundial de las matemáticas, y 100 años después que David Hilbert presentó su famosa lista con 23 problemas para los futuros matemáticos en el Congreso Internacional de Matemática en París, el Instituto Clay Mathematics de Cambridge, Massachussets (CMI) seleccionó los siete problemas premio del milenio, enfocando sobre problemas matemáticos clásicos e importantes, que han resistido la solución con el paso de los años. Se ha establecido un premio de un millón de dólares para la solución de cada uno de los siete problemas:
• Hipótesis de Riemann
• Conjetura de Poincaré
• Conjetura de Hodge
• Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
• Solución de las ecuaciones de Navier-Stokes
• La formulación de la teoría de Yang-Mills
• La determinación de si problemas NP son en realidad problemas P.
Una de las reglas del premio establece que la solución propuesta deberá estar expuesta previamente, por un periodo de al menos dos años, al escrutinio de la comunidad matemática internacional.
En realidad existen cuatro filtros que una solución debe pasar: uno, ser publicada en una revista de prestigio mundial, para lo cual han de aceptarla los recensores habituales de la misma; dos, tener "aceptación general" dos años después de su publicación; tres, poseer el visto bueno del comité científico del Instituto Clay y cuatro, obtener el visto bueno de un segundo comité más especializado que se creará expresamente para estudiar esa solución.


Los problemas de Hilbert y su trasfondo histórico
http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol5/v5n2p117.pdf

David Hilbert [Wikipedia]
http://es.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert

Los problemas de Hilbert [Wikipedia]
http://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Hilbert

LOS GRANDES PROBLEMAS MATEMÁTICOS DEL SIGLO XXI: RETOS Y RECOMPENSAS

y ya me conocen, no podia evitar poner ademas de la foto una caricatura de Hilbert


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